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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohorte wurden Gruppen von Personen unterschiedlich lange nachbeobachtet (siehe Tabelle: Anzahl der Personen und Nachbeobachtungsjahre jeweils). Während der Nachbeobachtung traten 18 neue Fälle auf. Bestimme die Inzidenzrate IR pro 1000 Personenjahre. Runde auf eine Nachkommastelle.
100 × 1,5 Jahre440 × 0,5 Jahre18 neue Fälle
IR = pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Patient hat eine Vortestwahrscheinlichkeit von 30 % für eine Erkrankung. Ein Test mit einer Sensitivität von 76 % und einer Spezifität von 86 % fällt positiv aus. Bestimme die Nachtestwahrscheinlichkeit p′ der Erkrankung als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Vortest 30%Se = 76%Sp = 86%positiv
p′ = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 39, 32, 47, 12, 12.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 25. Welcher Anteil P der Werte liegt über 462,5?
μ = 500σ = 25x = 462,5
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 16 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 1,7 und die Standardabweichung 5,9. Bestimme die untere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 16d̄ = 1,7sd = 5,995%t(15) = 2,131
untere Grenze = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Über den Anteil fehlerhafter Produkte ist vorab nichts bekannt. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,025 hat?
p = 0,5E = 0,02595%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 64 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 75,44 und eine Stichproben-Standardabweichung von 5. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,44s = 5n = 64
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 80 gegen H₁: μ < 80 wird bei α = 0.01 mit einer Stichprobe von 100 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 5. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 78.25. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art β in Prozent.
μ₀ = 80μ = 78,25σ = 5n = 100α = 0,01
β = %
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: IR = 48,6 pro 1000 Personenjahre
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Personenjahre
PY = 100·1,5 + 440·0,5 = 370
Inzidenzrate
IR = 18/370·1000 = 48,6 pro 1000 Personenjahre
Antwort
IR = 48,6 pro 1000 Personenjahre
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: p′ = 69,9 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Likelihood-Ratio
LR+ = 0,76/(1 − 0,86) = 5,429
Vortest-Odds
0,3/(1 − 0,3) = 0,4286
Nachtest-Odds
0,4286·5,429 = 2,327
Nachtestwahrscheinlichkeit
p′ = 2,327/(1 + 2,327) = 0,6994 ≈ 69,9%
Antwort
p′ = 69,9%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,88
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −1,5
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwort
P = 0,9332
5.Konfidenzintervalle
Antwort: untere Grenze = −1,443 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 15, t = 2,131
Fehlermarge
E = 2,131·5,9/√16 = 3,143
Intervall
1,7 ± 3,143 → [−1,443, 4,843]
Antwort
untere Grenze = −1,443 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Nach n auflösen
n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537
Aufrunden
n = 1537
Antwort
n = 1537
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 0,704
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Teststatistik
t = (75,44 − 75)/0,625 = 0,704
Antwort
t = 0,704
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: β = 12,02 %
Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).