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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer Kohortenstudie trugen Exponierte 7900 Personenjahre mit 316 neuen Fällen bei und Nicht-Exponierte 3200 Personenjahre mit 51 neuen Fällen. Bestimme das Inzidenzratenverhältnis IRR (Exponierte versus Nicht-Exponierte). Runde auf zwei Nachkommastellen.
exponiert: 316/7900 PYnicht exponiert: 51/3200 PY
IRR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 73 % und eine Spezifität von 81 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 30 % eingesetzt. Bestimme den positiven prädiktiven Wert PPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Se = 73%Sp = 81%p = 30%
PPV = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 43, 15, 34, 56, 23, 51.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 5. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 57,5.
μ = 50σ = 5x = 57,5
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 6 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 2,8 und die Standardabweichung 5,6. Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 6d̄ = 2,8sd = 5,695%t(5) = 2,571
E = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Durchmesser von 21 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 6,9 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 20 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 9,591 und 2,5 % über 34,17.
n = 21s = 6,9 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 100 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 5. Eine Zufallsstichprobe von 100 Beobachtungen hat den Mittelwert 98,94. Teste H₀: μ = 100 gegen H₁: μ < 100. Bestimme den p-Wert p.
μ₀ = 100σ = 5n = 100x̄ = 98,94H₁: μ < μ₀
p =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 16 Messungen hat den Mittelwert 502,5. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 20. Bestimme die untere Grenze L des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 502,5σ = 20n = 1695%
L =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: IRR = 2,51
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Inzidenzraten
exponiert: 316/7900 = 40 pro 1000 Personenjahre
nicht exponiert: 51/3200 = 15,94 pro 1000 Personenjahre
Ratenverhältnis
IRR = 40/15,94 = 2,51
Antwort
IRR = 2,51
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: PPV = 62,2 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Richtig und falsch Positive (pro Person)
Se·p = 0,73·0,3 = 0,219
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,19·0,7 = 0,133
Positiver prädiktiver Wert
PPV = 0,219/(0,219 + 0,133) = 0,6222 ≈ 62,2%
Antwort
PPV = 62,2%
Je niedriger die Prävalenz, desto niedriger der PPV desselben Tests.
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 16,01
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (57,5 − 50)/5 = 1,5
Antwort
z = 1,5
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 5,878 mmHg
Intervall für eine Differenz: Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler. Für zwei unabhängige Mittelwerte mit bekanntem σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) und z. Bei gleichen unbekannten Varianzen: gepooltes s_p und t mit n₁ + n₂ − 2 Freiheitsgraden. Bei verbundenen Daten rechnet man mit den Differenzen: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 5, t = 2,571
Fehlermarge
E = 2,571·5,6/√6 = 5,878
Antwort
E = 5,878 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: σ = 5,279 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
Quadratsumme
(n − 1)s² = 20·6,9² = 952,2
Grenzen für σ²
952,2/34,17 = 27,87
952,2/9,591 = 99,28
Grenze für σ
σ = √27,87 = 5,279 µm
Antwort
σ = 5,279 µm
95-%-Intervall für σ: [5,279, 9,964] µm.
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: p = 0,017
Hypothesentest: Teststatistik = (Schätzwert − Wert unter H₀)/(Standardfehler unter H₀). Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter der Annahme, dass H₀ wahr ist, für eine Statistik, die mindestens so extrem ist wie die beobachtete: die Fläche in einem Ende bei einseitiger H₁, die doppelte Endfläche bei zweiseitiger H₁. Verwirf H₀, wenn p ≤ α.
Teststatistik
SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5
z = (98,94 − 100)/0,5 = −2,12
Endfläche
Φ(2,12) = 0,9830
1 − Φ(2,12) = 0,0170
p-Wert
p = 0,017
Antwort
p = 0,017
p ≤ 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: L = 492,7
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).