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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 310 Patienten eine neue Behandlung und 260 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme die absolute Risikoreduktion ARR als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Behandlung: 40/310Kontrolle: 44/260
ARR = %
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 80 % und eine Spezifität von 87 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 20 % eingesetzt. Bestimme den negativen prädiktiven Wert NPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Se = 80%Sp = 87%p = 20%
NPV = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 33, 47, 10, 48, 45.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt über 162?
μ = 170σ = 10x = 162
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 64 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 10,2. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 90-%-Intervalls aus denselben Daten?
95%n₁ = 64E₁ = 10,290%
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Durchmesser von 30 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 3,7 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 29 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 16,047 und 2,5 % über 45,722.
n = 30s = 3,7 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 100 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 5. Eine Zufallsstichprobe von 100 Beobachtungen hat den Mittelwert 98,93. Teste H₀: μ = 100 gegen H₁: μ < 100. Bestimme den p-Wert p.
μ₀ = 100σ = 5n = 100x̄ = 98,93H₁: μ < μ₀
p =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 81 Messungen hat den Mittelwert 197,6. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 20. Bestimme die obere Grenze U des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 197,6σ = 20n = 8199%
U =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: ARR = 4 %
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 40/310 = 0,129
CER = 44/260 = 0,1692
Absolute Risikoreduktion
ARR = 0,1692 − 0,129 = 0,0402 ≈ 4%
Antwort
ARR = 4%
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NPV = 94,6 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Richtig und falsch Negative (pro Person)
Sp·(1 − p) = 0,87·0,8 = 0,696
(1 − Se)·p = 0,2·0,2 = 0,04
Negativer prädiktiver Wert
NPV = 0,696/(0,696 + 0,04) = 0,9457 ≈ 94,6%
Antwort
NPV = 94,6%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 16,04
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −0,8
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Antwort
P = 0,7881
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 8,561
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(64/64) = 0,8393
Neue Fehlermarge
E₂ = 10,2·0,8393 = 8,561
Antwort
E₂ = 8,561
6.Konfidenzintervalle
Antwort: σ = 2,947 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
Quadratsumme
(n − 1)s² = 29·3,7² = 397
Grenzen für σ²
397/45,722 = 8,683
397/16,047 = 24,74
Grenze für σ
σ = √8,683 = 2,947 µm
Antwort
σ = 2,947 µm
95-%-Intervall für σ: [2,947, 4,974] µm.
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: p = 0,01618
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Teststatistik
SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5
z = (98,93 − 100)/0,5 = −2,14
Endfläche
Φ(2,14) = 0,9838
1 − Φ(2,14) = 0,0162
p-Wert
p = 0,01618
Antwort
p = 0,01618
p ≤ 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: U = 203,3
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).