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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 960 Patienten eine neue Behandlung und 370 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme die absolute Risikoreduktion ARR als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Behandlung: 207/960Kontrolle: 100/370
ARR = %
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Screeningtest hat eine Sensitivität von 82 % und eine Spezifität von 84 %. Er wird in einer Population mit einer Prävalenz von 3 % eingesetzt. Bestimme den negativen prädiktiven Wert NPV als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Se = 82%Sp = 84%p = 3%
NPV = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 51, 28, 52, 34, 20.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 60. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 590?
μ = 500σ = 60x = 590
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 21 Elementen hat den Mittelwert 29 und die Standardabweichung s = 5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 21x̄ = 29s = 599%t(20) = 2,845
E =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 21. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2,5 hat?
σ = 21E = 2,599%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
6 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt 3,29 und die Standardabweichung der Differenzen 6,2. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 3,29sd = 6,2
t =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 80 gegen H₁: μ > 80 wird bei α = 0,05 mit einer Stichprobe von 64 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 4. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 81,55. Bestimme die Teststärke (Power) 1 − β des Tests in Prozent.
μ₀ = 80μ = 81,55σ = 4n = 64α = 0,05
1 − β = %
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: ARR = 5,5 %
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 207/960 = 0,2156
CER = 100/370 = 0,2703
Absolute Risikoreduktion
ARR = 0,2703 − 0,2156 = 0,05465 ≈ 5,5%
Antwort
ARR = 5,5%
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NPV = 99,3 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Richtig und falsch Negative (pro Person)
Sp·(1 − p) = 0,84·0,97 = 0,8148
(1 − Se)·p = 0,18·0,03 = 0,0054
Negativer prädiktiver Wert
NPV = 0,8148/(0,8148 + 0,0054) = 0,9934 ≈ 99,3%
Antwort
NPV = 99,3%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 14,14
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = 1,5
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Antwort
P = 0,9332
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 3,104
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Fehlermarge
E = 2,845·5/√21 = 3,104
Antwort
E = 3,104
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 469
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (2,576·21/2,5)² = 468,2
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 469
Antwort
n = 469
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 1,3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 6,2/√6 = 2,531
Teststatistik
t = 3,29/2,531 = 1,3
Antwort
t = 1,3
Bei df = 5 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,571; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: 1 − β = 92,72 %
Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).