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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein neuer Test wurde in einer Studie mit dem Referenzstandard verglichen (siehe Vierfeldertafel). Bestimme die positive Likelihood-Ratio LR+. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 200b = 499c = 90d = 1421
LR+ =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 85 % und einer Spezifität von 83 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 30 %. Wie viele richtig positive Ergebnisse TP sind zu erwarten?
N = 10 000p = 30%Se = 85%Sp = 83%
TP =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 29, 60, 10, 45, 57, 46.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 12. Welcher Anteil P der Werte liegt über 155,6?
μ = 170σ = 12x = 155,6
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 9 Elementen hat den Mittelwert 87,5 und die Standardabweichung s = 14,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 9x̄ = 87,5s = 14,590%t(8) = 1,86
untere Grenze =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 32. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2,5 hat?
σ = 32E = 2,595%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Zwei Lehrmethoden werden verglichen. Gruppe 1: 12 Studierende, mittlere Punktzahl 39,5, Standardabweichung 10,5. Gruppe 2: 5 Studierende, mittlere Punktzahl 57,1, Standardabweichung 8,5. Nimm gleiche Varianzen der Grundgesamtheiten an und verwende den gepoolten Zweistichproben-t-Test. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Gruppe 1 minus Gruppe 2).
Eine Stichprobe von 49 Messungen hat den Mittelwert 94,3. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 20. Bestimme die untere Grenze L des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 94,3σ = 20n = 4990%
L =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: LR+ = 2,65
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Sensitivität und Spezifität
Se = 200/290 = 0,6897
Sp = 1421/1920 = 0,7401
Positive Likelihood-Ratio
LR+ = 0,6897/(1 − 0,7401) = 2,654 ≈ 2,65
Antwort
LR+ = 2,65
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: TP = 2550
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,3 = 3000
10 000 − 3000 = 7000
Richtig Positive
TP = 3000·0,85 = 2550
Antwort
TP = 2550
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 18,78
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −1,2
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Antwort
P = 0,8849
5.Konfidenzintervalle
Antwort: untere Grenze = 78,51
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Fehlermarge
E = 1,86·14,5/√9 = 8,99
Intervall
87,5 ± 8,99 → [78,51, 96,49]
Antwort
untere Grenze = 78,51
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 630
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,96·32/2,5)² = 629,4
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 630
Antwort
n = 630
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = −3,305
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolte Varianz
sp² = (11·10,5² + 4·8,5²)/15 = 100,1
sp = 10,01
Standardfehler
SE = 10,01·√(1/12 + 1/5) = 5,326
Teststatistik
t = (39,5 − 57,1)/5,326 = −3,305
Antwort
t = −3,305
Bei df = 15 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,131; |t| ist größer, also wird H₀ verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: L = 89,6
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).