Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.
1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). In einer randomisierten Studie erhielten 670 Patienten eine neue Behandlung und 230 die Kontrollbehandlung. Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe das Ergebnis (ein unerwünschtes Ereignis wie ein Schlaganfall) hatten. Bestimme die Number needed to treat NNT, um ein Ereignis zu verhindern. Auf eine ganze Zahl von Patienten aufrunden.
Behandlung: 38/670Kontrolle: 32/230
NNT =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Patient hat eine Vortestwahrscheinlichkeit von 25 % für eine Erkrankung. Ein Test mit einer Sensitivität von 63 % und einer Spezifität von 83 % fällt positiv aus. Bestimme die Nachtestwahrscheinlichkeit p′ der Erkrankung als Prozentsatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Vortest 25%Se = 63%Sp = 83%positiv
p′ = %
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 10, 49, 56, 51, 34, 60.
n = 6
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 25. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 475.
μ = 500σ = 25x = 475
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Ein 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 64 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 3,6. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 99-%-Intervalls aus denselben Daten?
90%n₁ = 64E₁ = 3,699%
E₂ =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 35. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 5 hat?
σ = 35E = 599%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 60 Teilen hat die mittlere Länge 80,5 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 7 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 50 Teilen hat den Mittelwert 79,2 mm, bekannte Standardabweichung 8 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).
Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 1,5 hat? Die Standardabweichung ist 15. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.
σ = 15E = 1,590%
n =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: NNT = 13
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Ereignisraten
EER = 38/670 = 0,05672
CER = 32/230 = 0,1391
Number needed to treat
ARR = 0,1391 − 0,05672 = 0,08241
NNT = 1/0,08241 = 12,13 → 13
Antwort
NNT = 13
Die Behandlung von 13 Patienten verhindert etwa ein Ereignis.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: p′ = 55,3 %
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Likelihood-Ratio
LR+ = 0,63/(1 − 0,83) = 3,706
Vortest-Odds
0,25/(1 − 0,25) = 0,3333
Nachtest-Odds
0,3333·3,706 = 1,235
Nachtestwahrscheinlichkeit
p′ = 1,235/(1 + 1,235) = 0,5526 ≈ 55,3%
Antwort
p′ = 55,3%
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 18,59
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (475 − 500)/25 = −1
Antwort
z = −1
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E₂ = 5,637
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhältnis der Fehlermargen
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/64) = 1,566
Neue Fehlermarge
E₂ = 3,6·1,566 = 5,637
Antwort
E₂ = 5,637
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 326
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (2,576·35/5)² = 325,2
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 326
Antwort
n = 326
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = 0,8978
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standardfehler der Differenz
SE = √(7²/60 + 8²/50) = √2,097 = 1,448
Teststatistik
z = (80,5 − 79,2)/1,448 = 0,8978
Antwort
z = 0,8978
|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 271
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).