Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 4 mH = 2 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 4 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 3 mH = 3 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
12d1​ = 200 mm, p1​ = ?d2​ = 100 mm, p2​ = 290 kPa

Wasser strömt mit 20 L/s durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 200 mm auf 100 mm verengt. Der Druck im engen Abschnitt beträgt 290 kPa. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Druck p1 im weiten Abschnitt.

Q = 20 L/sd1 = 200 mmd2 = 100 mmp2 = 290 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
12d1​ = 150 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 4 m

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 150 mm auf 75 mm verengt und dabei um 4 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 320 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 320 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
V = 1,3 m/sD = 300 mmL = 500 mf = 0,015

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 1,3 m/s durch ein waagerechtes, 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 1,3 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 10Δz = ?L = 100 m, D = 250 mm, f = 0,0154× Krümmer (K = 0,3)

Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 20 L/sH = 64 m

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 85 % fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 64 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.

Q = 20 L/sH = 64 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
PQ = 75 L/sΔz = 25 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0,015, ΣK = 6

Eine Pumpe fördert 75 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 25 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 75 L/sΔz = 25 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 147,2 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Schützd = 4 mH = 2 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·3 = 147,2 kN

Antwort

F = 147,2 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: ycp = 4,667 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Schützd = 3 mH = 3 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,5 + 2,25/(4,5·3) = 4,667 m

Antwort

ycp = 4,667 m
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p1 = 293 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Geschwindigkeiten

v1 = Q/A1 = 0,02/0,03142 = 0,6366 m/s
v2 = Q/A2 = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

Bernoulli

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 290 + ½·1000·(2,546² − 0,6366²)/1000 = 290 + 3,04 = 293 kPa

Antwort

p1 = 293 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p2 = 278,9 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/75)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 320 + (−1,875) − 39,24 = 278,9 kPa

Antwort

p2 = 278,9 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 21,13 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,3)·1,3²/(2·9,81) = 2,153 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,153 = 21125 Pa = 21,13 kPa

Antwort

Δp = 21,13 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 8,9 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s
V²/(2g) = 0,4759 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Gesamte Verlusthöhe

hf = 6·0,4759 = 2,856 m
hm = 12,7·0,4759 = 6,044 m
Δz = hf + hm = 8,9 m

Antwort

Δz = 8,9 m
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: Pshaft = 14,77 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·64 = 12,56 kW

Wellenleistung

Pshaft = Ph/η = 12,56/0,85 = 14,77 kW

Antwort

Pshaft = 14,77 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 28,92 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 6)·0,2905 = 3,922 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + hL = 25 + 3,922 = 28,92 m

Antwort

H = 28,92 m

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