Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser läuft aus einem großen offenen Behälter durch eine scharfkantige Blende mit 20 mm Durchmesser aus. Der Wasserspiegel wird 5 m über der Blende gehalten, und die Ausflusszahl beträgt 0,62. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 5 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 150 mm auf 40 mm verengt und dabei um 3 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 210 kPa und die Geschwindigkeit 1 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ in Querschnitt 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 210 kPav₁ = 1 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 1,4 m/s durch ein waagerechtes, 50 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 75 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 1,4 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe fördert 15 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 10 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 72 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 92 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung P_el, die der Motor aufnimmt, in kW.

Q = 15 L/sH = 10 mη_pump = 72%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 40 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 7 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 200 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 300 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 159,4 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·5 = 159,4 kN

Antwort

F = 159,4 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 2,533 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·2 = 50,28 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,1667/(2,5·2) = 2,533 m

Antwort

y_cp = 2,533 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 1,929 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ideale Strahlgeschwindigkeit

√(2gh) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Tatsächlicher Volumenstrom

Die Ausflusszahl berücksichtigt die Einschnürung des Strahls und die Reibung an der Kante.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,0003142·9,905 = 0,001929 m³/s = 1,929 L/s

Antwort

Q = 1,929 L/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 82,19 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/40)² = 14,06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 14,06²)/1000 = −98,38 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 210 + (−98,38) − 29,43 = 82,19 kPa

Antwort

p₂ = 82,19 kPa

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 16,33 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,075)·1,4²/(2·9,81) = 1,665 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,665 = 16333 Pa = 16,33 kPa

Antwort

Δp = 16,33 kPa

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 2,733 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,02·100/0,2 = 10

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Gesamte Verlusthöhe

h_f = 10·0,1859 = 1,859 m

h_m = 4,7·0,1859 = 0,8738 m

Δz = h_f + h_m = 2,733 m

Antwort

Δz = 2,733 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_el = 2,221 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·10 = 1,472 kW

Wellenleistung

P_shaft = 1,472/0,72 = 2,044 kW

Elektrische Leistung

P_el = 2,044/0,92 = 2,221 kW

Antwort

P_el = 2,221 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 39,32 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,08263 = 1,735 m

Druckhöhe

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 30,58 + 1,735 = 39,32 m

Antwort

H = 39,32 m

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