Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 3 mH = 1,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 2 mH = 1,5 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
12d1​ = 150 mm, p1​ = ?d2​ = 100 mm, p2​ = 190 kPa

Wasser strömt mit 35 L/s durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 150 mm auf 100 mm verengt. Der Druck im engen Abschnitt beträgt 190 kPa. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Druck p1 im weiten Abschnitt.

Q = 35 L/sd1 = 150 mmd2 = 100 mmp2 = 190 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
C210,5 m5 md = 32 mmpC​ = ?

Ein Schlauch mit 32 mm Innendurchmesser saugt als Saugheber Wasser aus einem offenen Behälter. Der höchste Punkt C des Schlauchs liegt 0,5 m über dem Wasserspiegel, und der Auslass (zur Luft hin offen) liegt 5 m unter dem Wasserspiegel. Vernachlässige Verluste und nimm g = 9,81 m/s². Bestimme den absoluten Druck pC im Punkt C. Der Atmosphärendruck beträgt 101,3 kPa.

d = 32 mmzC = +0,5 mz2 = −5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
V = 2,2 m/sD = 200 mmL = 500 mf = 0,02

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 2,2 m/s durch ein waagerechtes, 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 2,2 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 2Δz = 17 mL = 300 m, D = 300 mm, f = 0,0153× Krümmer (K = 0,3)

Zwei offene Behälter sind durch ein 300 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 17 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.

Δz = 17 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 50 L/sH = 42 m

In einem Versuch fördert eine Pumpe 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 42 m, während ihre Welle 31,7 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 50 L/sH = 42 mPshaft = 31,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
PQ = 60 L/sΔz = 5 mL = 600 m, D = 200 mm, f = 0,02, ΣK = 6

Eine Pumpe fördert 60 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 5 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 600 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 60 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6
H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 82,77 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Schützd = 3 mH = 1,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Antwort

F = 82,77 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 102 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Schützd = 2 mH = 1,5 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,75·3 = 102 kN

Antwort

F = 102 kN
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p1 = 198 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Geschwindigkeiten

v1 = Q/A1 = 0,035/0,01767 = 1,981 m/s
v2 = Q/A2 = 0,035/0,007854 = 4,456 m/s

Bernoulli

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 190 + ½·1000·(4,456² − 1,981²)/1000 = 190 + 7,968 = 198 kPa

Antwort

p1 = 198 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: pC = 47,34 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Geschwindigkeit im Schlauch

Wasserspiegel und Auslass sind beide zur Luft hin offen, die Druckterme heben sich also auf.

v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Bernoulli vom Wasserspiegel bis C

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,905²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 53,96 = 47,34 kPa

Antwort

pC = 47,34 kPa

Fällt dieser Druck auf den Dampfdruck des Wassers, hört der Saugheber auf zu funktionieren.

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 121 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,2)·2,2²/(2·9,81) = 12,33 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·12,33 = 121000 Pa = 121 kPa

Antwort

Δp = 121 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Q = 293,1 L/s

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,015·300/0,3 = 15
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Energiegleichung

Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.

17 = (15 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·17/19,4) = 4,146 m/s

Volumenstrom

Q = V·π·D²/4 = 4,146·0,07069 = 0,2931 m³/s = 293,1 L/s

Antwort

Q = 293,1 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 64,99 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·42 = 20,6 kW

Wirkungsgrad

η = Ph/Pshaft = 20,6/31,7 = 64,99%

Antwort

η = 64,99%
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 17,27 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0,1859 = 12,27 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + hL = 5 + 12,27 = 17,27 m

Antwort

H = 17,27 m

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