Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser läuft aus einem großen offenen Behälter durch eine scharfkantige Blende mit 40 mm Durchmesser aus. Der Wasserspiegel wird 3,5 m über der Blende gehalten, und die Ausflusszahl beträgt 0,61. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 3,5 mC_d = 0,61g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Ein geschlossener Wasserbehälter enthält über dem Wasser Druckluft mit einem Überdruck von 40 kPa. Das Wasser tritt durch eine Öffnung mit 40 mm Durchmesser, 2 m unter dem Wasserspiegel, ins Freie aus. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten die Strahlgeschwindigkeit v. Verwende g = 9,81 m/s².

p_air = 40 kPa (Überdruck)h = 2 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 1,3 m/s durch ein 800 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,03 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 1,3 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 75 L/s beträgt?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe fördert 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 22 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 70 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 90 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung P_el, die der Motor aufnimmt, in kW.

Q = 80 L/sH = 22 mη_pump = 70%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 9 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 400 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5

H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 82,77 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Antwort

F = 82,77 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 155,4 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·6 = 155,4 kN

Antwort

F = 155,4 kN

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 6,352 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ideale Strahlgeschwindigkeit

√(2gh) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Tatsächlicher Volumenstrom

Die Ausflusszahl berücksichtigt die Einschnürung des Strahls und die Reibung an der Kante.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,61·0,001257·8,287 = 0,006352 m³/s = 6,352 L/s

Antwort

Q = 6,352 L/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: v = 10,92 m/s

Bernoulli vom Wasserspiegel bis zum Strahl

v = √(2·(40000/1000 + 9,81·2)) = 10,92 m/s

Antwort

v = 10,92 m/s

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 6,891 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,3)·1,3²/(2·9,81) = 6,891 m

Antwort

h_f = 6,891 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 0,6733 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,022·100/0,3 = 7,333

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 7,333 + 3,4)·0,05738 = 0,6733 m

Antwort

H = 0,6733 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_el = 27,41 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·22 = 17,27 kW

Wellenleistung

P_shaft = 17,27/0,7 = 24,67 kW

Elektrische Leistung

P_el = 24,67/0,9 = 27,41 kW

Antwort

P_el = 27,41 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 27,36 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 5)·0,408 = 18,36 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + h_L = 9 + 18,36 = 27,36 m

Antwort

H = 27,36 m

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