Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 300 mm Eintrittsdurchmesser und 150 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 13 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 13 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 150 mm auf 100 mm verengt und dabei um 9 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 360 kPa und die Geschwindigkeit 2 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ in Querschnitt 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 360 kPav₁ = 2 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 1,1 m/s durch ein waagerechtes, 50 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 1,1 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 82 % fördert 60 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 50 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 60 L/sH = 50 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 16 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 75 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 20 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 85,84 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·5 = 85,84 kN

Antwort

F = 85,84 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 3,308 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·4,5 = 126,3 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,8438/(3,25·4,5) = 3,308 m

Antwort

y_cp = 3,308 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 93,06 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Kontinuität

v₁ = v₂·(150/300)² = 0,25·v₂

Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle

Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·13000/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,266 m/s

v₁ = 1,317 m/s

Volumenstrom

Q = A₂·v₂ = 0,01767·5,266 = 0,09306 m³/s = 93,06 L/s

Antwort

Q = 93,06 L/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 263,6 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/100)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−8,125) − 88,29 = 263,6 kPa

Antwort

p₂ = 263,6 kPa

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 1,513 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,3)·1,1²/(2·9,81) = 0,1542 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,1542 = 1513 Pa = 1,513 kPa

Antwort

Δp = 1,513 kPa

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 7,436 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Gesamte Verlusthöhe

h_f = 13,5·0,2905 = 3,922 m

h_m = 12,1·0,2905 = 3,515 m

Δz = h_f + h_m = 7,436 m

Antwort

Δz = 7,436 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 35,89 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·50 = 29,43 kW

Wellenleistung

P_shaft = P_h/η = 29,43/0,82 = 35,89 kW

Antwort

P_shaft = 35,89 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 7,039 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0,3305 = 10,91 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 16 + 10,91 = 26,91 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·26,91/0,75 = 7,039 kW

Antwort

P_shaft = 7,039 kW

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