Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Strömungslehre: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 75 mm auf 40 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 240 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 240 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein Schlauch mit 25 mm Innendurchmesser saugt als Saugheber Wasser aus einem offenen Behälter. Der höchste Punkt C des Schlauchs liegt 0,5 m über dem Wasserspiegel, und der Auslass (zur Luft hin offen) liegt 3 m unter dem Wasserspiegel. Vernachlässige Verluste und nimm g = 9,81 m/s². Bestimme den Volumenstrom Q.
d = 25 mmzC = +0,5 mz2 = −3 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 1,3 m/s durch ein 400 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
V = 1,3 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 11 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.
Δz = 11 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 82 % fördert 25 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 34 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 25 L/sH = 34 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 30 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 200 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 75 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 50 L/sΔz = 30 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 6η = 75%
Pshaft = kW
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 235,4 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN
Antwort
F = 235,4 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 121,4 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN
Antwort
F = 121,4 kN
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p2 = 238,6 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(75/40)² = 1,758 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 1,758²)/1000 = −1,42 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 240 + (−1,42) = 238,6 kPa
Antwort
p2 = 238,6 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 3,766 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Geschwindigkeit im Schlauch
Wasserspiegel und Auslass sind beide zur Luft hin offen, die Druckterme heben sich also auf.
v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s
Volumenstrom
Q = A·v = 0,0004909·7,672 = 0,003766 m³/s = 3,766 L/s
Antwort
Q = 3,766 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 8,614 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,1)·1,3²/(2·9,81) = 8,614 m
Antwort
hf = 8,614 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Q = 135,3 L/s
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Energiegleichung
Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.
11 = (16 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·11/28,4) = 2,757 m/s
Volumenstrom
Q = V·π·D²/4 = 2,757·0,04909 = 0,1353 m³/s = 135,3 L/s
Antwort
Q = 135,3 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 10,17 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·34 = 8,338 kW
Wellenleistung
Pshaft = Ph/η = 8,338/0,82 = 10,17 kW
Antwort
Pshaft = 10,17 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 30,12 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33,33 + 6)·0,408 = 16,05 m
Förderhöhe
H = Δz + hL = 30 + 16,05 = 46,05 m
Wellenleistung
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·46,05/0,75 = 30,12 kW
Antwort
Pshaft = 30,12 kW
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