Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Ein Prandtl-Rohr in einem Windkanal zeigt eine Differenz von 850 Pa zwischen Gesamtdruck und statischem Druck an. Die Luftdichte beträgt 1,2 kg/m³. Bestimme die Luftgeschwindigkeit v.

p₀ − p = 850 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Ein geschlossener Wasserbehälter enthält über dem Wasser Druckluft mit einem Überdruck von 70 kPa. Das Wasser tritt durch eine Öffnung mit 25 mm Durchmesser, 2,5 m unter dem Wasserspiegel, ins Freie aus. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².

p_air = 70 kPa (Überdruck)h = 2,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2 m/s durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 50 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 2 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 82 % fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 22 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 20 L/sH = 22 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 80 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 5 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6

H = m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 242,8 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN

Antwort

F = 242,8 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 181,3 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·6 = 181,3 kN

Antwort

F = 181,3 kN

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: v = 37,64 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli bis zum Staupunkt

Die Strömung kommt an der Spitze zur Ruhe, ihre kinetische Energie erscheint also als zusätzlicher Druck.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·850/1,2) = 37,64 m/s

Antwort

v = 37,64 m/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 6,749 L/s

Bernoulli vom Wasserspiegel bis zum Strahl

v = √(2·(70000/1000 + 9,81·2,5)) = 13,75 m/s

Volumenstrom

Q = A·v = 0,0004909·13,75 = 0,006749 m³/s = 6,749 L/s

Antwort

Q = 6,749 L/s

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 12,23 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,05)·2²/(2·9,81) = 12,23 m

Antwort

h_f = 12,23 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 1,991 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Gesamte Verlusthöhe

h_f = 30·0,05738 = 1,721 m

h_m = 4,7·0,05738 = 0,2697 m

Δz = h_f + h_m = 1,991 m

Antwort

Δz = 1,991 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 5,264 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·22 = 4,316 kW

Wellenleistung

P_shaft = P_h/η = 4,316/0,82 = 5,264 kW

Antwort

P_shaft = 5,264 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 7,599 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 6)·0,1354 = 2,599 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + h_L = 5 + 2,599 = 7,599 m

Antwort

H = 7,599 m

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