Strömungslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 150 mm auf 100 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 120 kPa und die Geschwindigkeit 3 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 120 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Ein geschlossener Wasserbehälter enthält über dem Wasser Druckluft mit einem Überdruck von 80 kPa. Das Wasser tritt durch eine Öffnung mit 20 mm Durchmesser, 2,5 m unter dem Wasserspiegel, ins Freie aus. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten die Strahlgeschwindigkeit v. Verwende g = 9,81 m/s².

p_air = 80 kPa (Überdruck)h = 2,5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,3 m/s durch ein 800 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 50 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 2,3 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 15 L/s?

Q = 15 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

In einem Versuch fördert eine Pumpe 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 10 m, während ihre Welle 2,3 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 20 L/sH = 10 mP_shaft = 2,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 60 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 13 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 200 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 72 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 60 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 5η = 72%

P_shaft = kW

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 110,4 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Antwort

F = 110,4 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 111,2 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·3 = 111,2 kN

Antwort

F = 111,2 kN

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 101,7 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−18,28) = 101,7 kPa

Antwort

p₂ = 101,7 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: v = 14,46 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli vom Wasserspiegel bis zum Strahl

v = √(2·(80000/1000 + 9,81·2,5)) = 14,46 m/s

Antwort

v = 14,46 m/s

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 77,65 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 2,3²/(2·9,81) = 0,2696 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,05)·2,3²/(2·9,81) = 77,65 m

Antwort

h_f = 77,65 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 7,009 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Gesamte Verlusthöhe

h_f = 30·0,1859 = 5,577 m

h_m = 7,7·0,1859 = 1,432 m

Δz = h_f + h_m = 7,009 m

Antwort

Δz = 7,009 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 85,3 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·10 = 1,962 kW

Wirkungsgrad

η = P_h/P_shaft = 1,962/2,3 = 85,3%

Antwort

η = 85,3%

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 13,29 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12,5 + 5)·0,1859 = 3,253 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 13 + 3,253 = 16,25 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·16,25/0,72 = 13,29 kW

Antwort

P_shaft = 13,29 kW

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