Effektive Spannung im Boden
- Totale Spannung
- σ = Σγi·hi
- Porenwasserdruck
- u = γw·(z − zw)
- Effektive Spannung
- σ′ = σ − u
- Wasser
- γw = 9,81 kN/m³
Geotechnik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Konsolidationssetzung
- Normal konsolidiert
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Endspannung
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Überkonsolidiert, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Überkonsolidiert, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Überkonsolidierungsgrad
- OCR = σ′p/σ′0
- Konsolidierungszeit
- t = Tv·Hdr²/cv
- Dränweg
- Hdr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
- Zeitfaktoren
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
2Übungsaufgaben
1.Effektive Spannung im BodenMittel
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die totale vertikale Spannung σ im Punkt X.
z = 3 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16,5 kN/m³Sand: γsat = 19,5 kN/m³
σ = kPa
2.Effektive Spannung im BodenSchwer
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 7 mzw = 4 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16 kN/m³Sand: γsat = 19,5 kN/m³Ton: γsat = 17,5 kN/m³
σ′ = kPa
3.KonsolidationssetzungMittel
Eine 2,5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,4, Cr = 0,04 und e₀ = 1,15. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 55 kPa und die Vorbelastungsspannung 85 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 20 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
H = 2,5 mCc = 0,4Cr = 0,04e0 = 1,15σ′0 = 55 kPaσ′p = 85 kPaΔσ = 20 kPa
S = mm
4.KonsolidationssetzungSchwer
In einem Ödometerversuch im Labor erreicht eine 19 mm dicke Tonprobe, die oben und unten entwässert, in 10 min 50 % Konsolidation. Im Feld bildet derselbe Ton eine 9,5 m dicke Schicht. Sie liegt zwischen zwei Sandschichten, das Wasser kann also oben und unten austreten. Wie viele Tage t braucht die Schicht im Feld, um 50 % Konsolidation zu erreichen?
hlab = 19 mmtlab = 10 minH = 9,5 mFeld: zweiseitige Entwässerung
t = Tage
5.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Lösungen
1.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ = 52,5 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16,5·2 + 19,5·1 = 52,5 kPa
Antwort
σ = 52,5 kPa
2.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 89,07 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·4 + γsat,sand·1 + γsat,clay·2
σ = 16·4 + 19,5·1 + 17,5·2 = 118,5 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·3 = 29,43 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 118,5 − 29,43 = 89,07 kPa
Antwort
σ′ = 89,07 kPa
3.Konsolidationssetzung
Antwort: S = 6,265 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen
σ′f = 55 + 20 = 75 kPa ≤ 85 kPa
Setzung
Der Ton bleibt auf seiner Wiederbelastungslinie.
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,04·2,5/(1 + 1,15)·log₁₀(75/55) = 6,265 mm
Antwort
S = 6,265 mm
4.Konsolidationssetzung
Antwort: t = 1736 Tage
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Dränwege
Hdr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m
Hdr,field = 9,5/2 = 4,75 m
Die Zeit umrechnen
t = Tv·Hdr²/cv mit demselben T_v und cv im Labor und im Feld.
tfield = 10·(4,75/0,0095)² = 2,5 × 10⁶ min
tfield = 2,5 × 10⁶/1440 = 1736 Tage
Antwort
t = 1736 Tage
5.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 77,25 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN
Antwort
F = 77,25 kN
6.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 2,048 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 1,302/(1,75·2,5) = 2,048 m
Antwort
ycp = 2,048 m
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