Effektive Spannung im Boden
- Totale Spannung
- σ = Σγi·hi
- Porenwasserdruck
- u = γw·(z − zw)
- Effektive Spannung
- σ′ = σ − u
- Wasser
- γw = 9,81 kN/m³
Geotechnik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Konsolidationssetzung
- Normal konsolidiert
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Endspannung
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Überkonsolidiert, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Überkonsolidiert, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Überkonsolidierungsgrad
- OCR = σ′p/σ′0
- Konsolidierungszeit
- t = Tv·Hdr²/cv
- Dränweg
- Hdr = H/2 (zweiseitige Entwässerung), H (einseitige Entwässerung)
- Zeitfaktoren
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
2Übungsaufgaben
1.Effektive Spannung im BodenMittel
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 6 mzw = 4 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 16,5 kN/m³Sand: γsat = 20,5 kN/m³
σ′ = kPa
2.Effektive Spannung im BodenSchwer
Bestimme für das gezeigte Bodenprofil die vertikale effektive Spannung σ′ im Punkt X.
z = 7 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³Sand: γd = 17 kN/m³Sand: γsat = 20,5 kN/m³Ton: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
3.KonsolidationssetzungMittel
Eine 3,5 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,3, Cr = 0,06 und e₀ = 0,6. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 60 kPa und die Vorbelastungsspannung 160 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 160 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
H = 3,5 mCc = 0,3Cr = 0,06e0 = 0,6σ′0 = 60 kPaσ′p = 160 kPaΔσ = 160 kPa
S = mm
4.KonsolidationssetzungSchwer
In einem Ödometerversuch im Labor erreicht eine 20 mm dicke Tonprobe, die oben und unten entwässert, in 12 min 50 % Konsolidation. Im Feld bildet derselbe Ton eine 9 m dicke Schicht. Sie liegt zwischen zwei Sandschichten, das Wasser kann also oben und unten austreten. Wie viele Tage t braucht die Schicht im Feld, um 50 % Konsolidation zu erreichen?
hlab = 20 mmtlab = 12 minH = 9 mFeld: zweiseitige Entwässerung
t = Tage
5.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 4 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3Lösungen
1.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 87,38 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16,5·4 + 20,5·2 = 107 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·2 = 19,62 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 107 − 19,62 = 87,38 kPa
Antwort
σ′ = 87,38 kPa
2.Effektive Spannung im Boden
Antwort: σ′ = 82,95 kPa
Effektive Spannung (Terzaghi): Das Korngerüst trägt σ′ = σ − u. Die totale Spannung σ ist das Gewicht von allem über dem Punkt, Σγ·h, mit der Trockenwichte oberhalb des Grundwasserspiegels und der gesättigten Wichte darunter. Unterhalb des Grundwasserspiegels ist der Porenwasserdruck hydrostatisch: u = γw·(Tiefe unter dem Grundwasserspiegel).
Totale Spannung
Addiere das Gewicht jeder Bodenschicht über X. Oberhalb des Grundwasserspiegels die Trockenwichte, darunter die gesättigte Wichte.
σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3
σ = 17·2 + 20,5·2 + 19·3 = 132 kPa
Porenwasserdruck
Der Wasserdruck wächst mit der Tiefe unter dem Grundwasserspiegel.
u = γw·(z − zw) = 9,81·5 = 49,05 kPa
Effektive Spannung
σ′ = σ − u = 132 − 49,05 = 82,95 kPa
Antwort
σ′ = 82,95 kPa
3.Konsolidationssetzung
Antwort: S = 146,7 mm
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen
σ′f = 60 + 160 = 220 kPa > 160 kPa
Setzung
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
S = 0,06·3,5/(1 + 0,6)·log₁₀(160/60) + 0,3·3,5/(1 + 0,6)·log₁₀(220/160)
S = 55,91 + 90,76 = 146,7 mm
Antwort
S = 146,7 mm
4.Konsolidationssetzung
Antwort: t = 1688 Tage
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Dränwege
Hdr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m
Hdr,field = 9/2 = 4,5 m
Die Zeit umrechnen
t = Tv·Hdr²/cv mit demselben T_v und cv im Labor und im Feld.
tfield = 12·(4,5/0,01)² = 2,43 × 10⁶ min
tfield = 2,43 × 10⁶/1440 = 1688 Tage
Antwort
t = 1688 Tage
5.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 44,15 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN
Antwort
F = 44,15 kN
6.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 486,7 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·5,25·7,5 = 486,7 kN
Antwort
F = 486,7 kN
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