Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Beton und 75 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 24 °C und -15 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Holz und 150 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -9 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 4 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 370 kW. Das heiße Fluid kühlt von 90 auf 40 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 50 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 300 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 370 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 90 → 40 °CTc: 15 → 50 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,8 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 90 auf 60 °C ab. Wasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 20 °C ein. Das Innenrohr hat 32 mm Durchmesser, und U = 250 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 90 → 60 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 21,24 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·4) = 0,03571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·4) = 0,4688 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 39/0,5045 = 77,31 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 77,31·0,03571 = 21,24 °C
Antwort
Ti = 21,24 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 1,003 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·4) = 0,05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,2491 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,2491) = 1,003 W/(m²·K)
Antwort
U = 1,003 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 38,64 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 50 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 15 = 25 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 25)/ln(40/25) = 31,91 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(300·31,91) = 38,64 m²
Antwort
A = 38,64 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 48,21 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,8·2,5·(90 − 60) = 60 kW
Tc,out = 20 + 60/(1,5·4,18) = 29,57 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 29,57 = 60,43 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60,43 − 40)/ln(60,43/40) = 49,51 K
Fläche und Länge
A = 60000/(250·49,51) = 4,847 m²
L = A/(πD) = 4,847/(π·0,032) = 48,21 m
Antwort
L = 48,21 m
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