Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Expandiertes Polystyrol, k = 0,035250 mmMineralwolle, k = 0,04100 mm25 °C9 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 250 mm expandiertes Polystyrol und 100 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 25 °C und 9 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 25 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Holz, k = 0,17150 mmGipskarton, k = 0,1775 mmRaum 21 °Caußen -15 °CQ̇

Eine Wand aus 150 mm Holz und 75 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -15 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 4 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT100 °C20 °C50 °CΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 100 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 20 auf 50 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Ts = 100 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 50 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT105 °C65 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂Gleichstrom

In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gleichstrom strömt heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 105 auf 65 °C ab. Wasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 25 °C ein. Das Innenrohr hat 20 mm Durchmesser, und U = 400 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 65 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 25 °CD = 20 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 13,15 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·10) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,9643 = 16,59 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 16,59·0,7143 = 13,15 °C

Antwort

Ti = 13,15 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,6535 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,3825 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,3825) = 0,6535 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,6535 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 9,823 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung aus der Wasserseite

Q̇ = 5·4,18·(50 − 20) = 627 kW

Temperaturdifferenzen an den Enden

ΔT₁ = 100 − 20 = 80 K
ΔT₂ = 100 − 50 = 50 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 50)/ln(80/50) = 63,83 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 627000/(1000·63,83) = 9,823 m²

Antwort

A = 9,823 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: L = 34,64 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = 0,5·2,3·(105 − 65) = 46 kW
Tc,out = 25 + 46/(1,5·4,18) = 32,34 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 25 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 32,34 = 32,66 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 32,66)/ln(80/32,66) = 52,84 K

Fläche und Länge

A = 46000/(400·52,84) = 2,176 m²
L = A/(πD) = 2,176/(π·0,02) = 34,64 m

Antwort

L = 34,64 m

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