Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Mineralwolle und 75 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 18 °C und 9 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 18 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm Holz und 75 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -11 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 120 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 30 auf 50 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 3500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 120 °Cṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 50 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 130 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 2500 W/(m²·K). Kühlwasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 30 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 130 °CA = 2 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 9,593 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·20) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·20) = 0,02206 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 9/0,3346 = 26,9 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 26,9·0,3125 = 9,593 °C
Antwort
Ti = 9,593 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 248,2 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1249 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-11))/0,1249 = 248,2 W
Antwort
Q̇ = 248,2 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 0,9004 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 3·4,18·(50 − 30) = 250,8 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 120 − 30 = 90 K
ΔT₂ = 120 − 50 = 70 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 70)/ln(90/70) = 79,58 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250800/(3500·79,58) = 0,9004 m²
Antwort
A = 0,9004 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 120,9 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·2/(0,5·4180) = 2,392
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−2,392 = 100·0,09142 = 9,142 K
Tc,out = 130 − 9,142 = 120,9 °C
Antwort
Tc,out = 120,9 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 189,9 kW.
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