Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Mineralwolle und 150 mm Glas, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 17 °C und -10 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 17 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 250 mm Glas und 75 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 100 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 20 auf 45 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 100 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 45 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 80 auf 60 °C ab. Es erwärmt 1 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 30 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 80 → 60 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = −9,341 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·15) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·15) = 0,01042 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,4271 = 63,22 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 63,22·0,4167 = −9,341 °C
Antwort
Ti = −9,341 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 18,36 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·10) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·10) = 0,1875 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,2342 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-3))/0,2342 = 98,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 98,2·0,01667 = 18,36 °C
Antwort
Ts = 18,36 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 7,831 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 5·4,18·(45 − 20) = 522,5 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 100 − 20 = 80 K
ΔT₂ = 100 − 45 = 55 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 55)/ln(80/55) = 66,72 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 522500/(1000·66,72) = 7,831 m²
Antwort
A = 7,831 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 9,722 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·20 = 63 kW
Tc,out = 30 + 63/(1·4,18) = 45,07 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 45,07 = 34,93 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 30 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (34,93 − 30)/ln(34,93/30) = 32,4 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 63000/(200·32,4) = 9,722 m²
Antwort
A = 9,722 m²
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