Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Beton und 75 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 19 °C und 8 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Glas und 100 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit 4 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 4 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 630 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 105 auf 40 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 60 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,95, und U = 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 630 kWF = 0,95U = 1000 W/(m²·K)Th: 105 → 40 °CTc: 10 → 60 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 3 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 165 °C ein, der kalte mit 15 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 5 m² und U = 200 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 3 kW/KTh,in = 165 °CTc,in = 15 °CA = 5 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 109 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·20) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·20) = 0,09375 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,1009 = 109 W
Antwort
Q̇ = 109 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 13,75 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·15) = 0,009259 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,02606 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (4))/0,02606 = 652,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 652,2·0,01111 = 13,75 °C
Antwort
Ts = 13,75 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 17,93 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 60 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 30)/ln(45/30) = 36,99 K
Fläche
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 630000/(1000·0,95·36,99) = 17,93 m²
Antwort
A = 17,93 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 127,5 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
3·(165 − Th,out) = 1·(Th,out − 15)
Th,out = (3·165 + 1·15)/(3 + 1) = 127,5 °C
Antwort
Th,out = 127,5 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 112,5 kW; der kalte Strom tritt mit 52,5 °C aus.
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