Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Ziegel, k = 0,7250 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,03550 mm16 °C-15 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 50 mm Ziegel und 50 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 16 °C und -15 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 16 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Holz, k = 0,1750 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,03525 mmRaum 21 °Caußen -14 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 50 mm Holz und 25 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -14 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT160 °C90 °C135 °C20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 300 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 160 auf 90 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 135 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,85, und U = 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 300 kWF = 0,85U = 500 W/(m²·K)Th: 160 → 90 °CTc: 20 → 135 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT120 °C85 °C?25 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,8 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 120 auf 85 °C ab. Wasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 25 °C ein. Das Innenrohr hat 25 mm Durchmesser, und U = 150 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.

ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 120 → 85 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 25 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 310,4 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·15) = 0,09524 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,09987 = 310,4 W

Antwort

Q̇ = 310,4 W
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 17,3 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·15) = 0,04762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,07889 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (21 − (-14))/0,07889 = 443,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 443,6·0,008333 = 17,3 °C

Antwort

Ts = 17,3 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 16,15 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 135 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 20 = 70 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 70)/ln(25/70) = 43,71 K

Fläche

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 300000/(500·0,85·43,71) = 16,15 m²

Antwort

A = 16,15 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: L = 86,46 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = 0,8·2,5·(120 − 85) = 70 kW
Tc,out = 25 + 70/(1·4,18) = 41,75 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 41,75 = 78,25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (78,25 − 60)/ln(78,25/60) = 68,72 K

Fläche und Länge

A = 70000/(150·68,72) = 6,791 m²
L = A/(πD) = 6,791/(π·0,025) = 86,46 m

Antwort

L = 86,46 m

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