Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Gipskarton und 25 mm Glas, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 24 °C und 10 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 24 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm Ziegel und 25 mm Glas trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -5 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 110 kW. Das heiße Fluid kühlt von 95 auf 45 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 75 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 110 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 95 → 45 °CTc: 15 → 75 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 95 auf 60 °C ab. Wasser (0,3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 15 °C ein. Das Innenrohr hat 32 mm Durchmesser, und U = 200 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 95 → 60 °Cṁc = 0,3 kg/sTc,in = 15 °CD = 32 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 262,4 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·6) = 0,00434 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,05336 = 262,4 W
Antwort
Q̇ = 262,4 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 13,32 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·10) = 0,02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·10) = 0,002604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,03744 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-5))/0,03744 = 667,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 667,8·0,01 = 13,32 °C
Antwort
Ts = 13,32 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 5,575 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 75 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 30)/ln(20/30) = 24,66 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 110000/(800·24,66) = 5,575 m²
Antwort
A = 5,575 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 38,25 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,5·2,1·(95 − 60) = 36,75 kW
Tc,out = 15 + 36,75/(0,3·4,18) = 44,31 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 44,31 = 50,69 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50,69 − 45)/ln(50,69/45) = 47,79 K
Fläche und Länge
A = 36750/(200·47,79) = 3,845 m²
L = A/(πD) = 3,845/(π·0,032) = 38,25 m
Antwort
L = 38,25 m
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