Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Beton und 150 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 18 °C und 4 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 18 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm expandiertes Polystyrol und 150 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -6 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 25 auf 80 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 105 °Cṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 80 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 2 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 135 °C ein, der kalte mit 10 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 3 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 135 °CTc,in = 10 °CA = 3 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 204,8 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·15) = 0,009524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,06835 = 204,8 W
Antwort
Q̇ = 204,8 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 20,48 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·15) = 0,381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,4518 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-6))/0,4518 = 59,77 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 59,77·0,008658 = 20,48 °C
Antwort
Ts = 20,48 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 14,59 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 3·4,18·(80 − 25) = 689,7 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 105 − 25 = 80 K
ΔT₂ = 105 − 80 = 25 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 25)/ln(80/25) = 47,29 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 689700/(1000·47,29) = 14,59 m²
Antwort
A = 14,59 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 96,21 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
2·(135 − Th,out) = 0,9·(Th,out − 10)
Th,out = (2·135 + 0,9·10)/(2 + 0,9) = 96,21 °C
Antwort
Th,out = 96,21 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 77,59 kW; der kalte Strom tritt mit 48,79 °C aus.
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