Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Holz und 150 mm Glas, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 19 °C und 6 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Beton und 75 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit 1 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 20 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 120 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 20 auf 95 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 120 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 95 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,3 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 135 auf 70 °C ab. Wasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 10 °C ein. Das Innenrohr hat 25 mm Durchmesser, und U = 400 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 135 → 70 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 10 °CD = 25 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 8,728 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,1241 = 104,8 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 104,8·0,09804 = 8,728 °C
Antwort
Ti = 8,728 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,4131 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·20) = 0,1071 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,121 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,121) = 0,4131 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,4131 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 5,795 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 1·4,18·(95 − 20) = 313,5 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 120 − 20 = 100 K
ΔT₂ = 120 − 95 = 25 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 25)/ln(100/25) = 54,1 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 313500/(1000·54,1) = 5,795 m²
Antwort
A = 5,795 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 15,4 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,3·2,1·(135 − 70) = 40,95 kW
Tc,out = 10 + 40,95/(1·4,18) = 19,8 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 19,8 = 115,2 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 10 = 60 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115,2 − 60)/ln(115,2/60) = 84,62 K
Fläche und Länge
A = 40950/(400·84,62) = 1,21 m²
L = A/(πD) = 1,21/(π·0,025) = 15,4 m
Antwort
L = 15,4 m
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