Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Mineralwolle, k = 0,0450 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,035150 mm19 °C7 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 50 mm Mineralwolle und 150 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 19 °C und 7 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Expandiertes Polystyrol, k = 0,03550 mmMineralwolle, k = 0,0475 mmRaum 22 °Caußen 2 °CQ̇ = ?

Eine Wand aus 50 mm expandiertes Polystyrol und 75 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit 2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 20 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT150 °C60 °C80 °C10 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 220 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 25 m². Das heiße Fluid kühlt von 150 auf 60 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 80 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 220 kWA = 25 m²Th: 150 → 60 °CTc: 10 → 80 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT110 °C75 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂Gleichstrom

In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gleichstrom strömt heißes Öl (0,8 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 110 auf 75 °C ab. Wasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 25 °C ein. Das Innenrohr hat 20 mm Durchmesser, und U = 400 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.

ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 110 → 75 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 20 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 17,34 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·8) = 0,1563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·8) = 0,5357 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,692 = 17,34 W

Antwort

Q̇ = 17,34 W
2.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 116,4 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·20) = 0,07143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·20) = 0,09375 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,1718 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (22 − (2))/0,1718 = 116,4 W

Antwort

Q̇ = 116,4 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 148 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 80 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 50)/ln(70/50) = 59,44 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 220000/(25·59,44) = 148 W/(m²·K)

Antwort

U = 148 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: L = 45,7 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = 0,8·2,3·(110 − 75) = 64,4 kW
Tc,out = 25 + 64,4/(1·4,18) = 40,41 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 110 − 25 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 40,41 = 34,59 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 34,59)/ln(85/34,59) = 56,07 K

Fläche und Länge

A = 64400/(400·56,07) = 2,871 m²
L = A/(πD) = 2,871/(π·0,02) = 45,7 m

Antwort

L = 45,7 m

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