Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Mineralwolle und 50 mm Ziegel, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 19 °C und 9 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Holz und 150 mm Ziegel trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit 2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 140 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 30 auf 120 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 3500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 140 °Cṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 120 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 90 auf 55 °C ab. Wasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 25 °C ein. Das Innenrohr hat 20 mm Durchmesser, und U = 400 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 90 → 55 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 25 °CD = 20 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 11,84 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·6) = 0,8333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·6) = 0,01157 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,8449 = 11,84 W
Antwort
Q̇ = 11,84 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 1,41 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·12) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,05909 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,05909) = 1,41 W/(m²·K)
Antwort
U = 1,41 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 6,108 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 3·4,18·(120 − 30) = 1129 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 140 − 30 = 110 K
ΔT₂ = 140 − 120 = 20 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 20)/ln(110/20) = 52,79 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,129 × 10⁶/(3500·52,79) = 6,108 m²
Antwort
A = 6,108 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 87,93 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 1·2,5·(90 − 55) = 87,5 kW
Tc,out = 25 + 87,5/(1,5·4,18) = 38,96 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 38,96 = 51,04 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (51,04 − 30)/ln(51,04/30) = 39,59 K
Fläche und Länge
A = 87500/(400·39,59) = 5,525 m²
L = A/(πD) = 5,525/(π·0,02) = 87,93 m
Antwort
L = 87,93 m
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