Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Mineralwolle, k = 0,0450 mmGlas, k = 0,9625 mm16 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 50 mm Mineralwolle und 25 mm Glas, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 16 °C und -1 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 16 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Beton, k = 1,450 mmZiegel, k = 0,7250 mmRaum 22 °Caußen 4 °CQ̇

Eine Wand aus 50 mm Beton und 50 mm Ziegel trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit 4 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT105 °C25 °C55 °CΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 25 auf 55 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 3500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Ts = 105 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 55 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT125 °C105 °C43,92 °C20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Heißes Öl (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 125 auf 105 °C ab. Es erwärmt 1 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 20 °C eintritt. Bestimme mit U = 800 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 125 → 105 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = −0,6531 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·4) = 0,00651 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,319 = 53,29 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 53,29·0,3125 = −0,6531 °C

Antwort

Ti = −0,6531 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 3,636 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·15) = 0,002381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,01834 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,01834) = 3,636 W/(m²·K)

Antwort

U = 3,636 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 1,123 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung aus der Wasserseite

Q̇ = 2·4,18·(55 − 25) = 250,8 kW

Temperaturdifferenzen an den Enden

ΔT₁ = 105 − 25 = 80 K
ΔT₂ = 105 − 55 = 50 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 50)/ln(80/50) = 63,83 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250800/(3500·63,83) = 1,123 m²

Antwort

A = 1,123 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 1,506 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·20 = 100 kW
Tc,out = 20 + 100/(1·4,18) = 43,92 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 43,92 = 81,08 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 20 = 85 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (81,08 − 85)/ln(81,08/85) = 83,02 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(800·83,02) = 1,506 m²

Antwort

A = 1,506 m²

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