Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Beton, k = 1,4250 mmGlas, k = 0,9675 mm19 °C5 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 250 mm Beton und 75 mm Glas, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 19 °C und 5 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 19 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Glas, k = 0,96200 mmHolz, k = 0,17100 mmRaum 22 °Caußen -8 °CQ̇

Eine Wand aus 200 mm Glas und 100 mm Holz trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -8 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT140 °C25 °C105 °CΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 140 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 25 auf 105 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 2500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Ts = 140 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 105 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT145 °C??15 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 1 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 145 °C ein, der kalte mit 15 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 1,5 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.

Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 145 °CTc,in = 15 °CA = 1,5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 9,261 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·4) = 0,04464 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·4) = 0,01953 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,06417 = 218,2 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 218,2·0,04464 = 9,261 °C

Antwort

Ti = 9,261 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,9968 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·6) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,1672 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,1672) = 0,9968 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,9968 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 3,978 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung aus der Wasserseite

Q̇ = 2·4,18·(105 − 25) = 668,8 kW

Temperaturdifferenzen an den Enden

ΔT₁ = 140 − 25 = 115 K
ΔT₂ = 140 − 105 = 35 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 35)/ln(115/35) = 67,25 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 668800/(2500·67,25) = 3,978 m²

Antwort

A = 3,978 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Th,out = 104,7 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

1·(145 − Th,out) = 0,45·(Th,out − 15)
Th,out = (1·145 + 0,45·15)/(1 + 0,45) = 104,7 °C

Antwort

Th,out = 104,7 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 40,34 kW; der kalte Strom tritt mit 55,34 °C aus.

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