Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Expandiertes Polystyrol, k = 0,035150 mmZiegel, k = 0,7250 mm22 °C10 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 150 mm expandiertes Polystyrol und 50 mm Ziegel, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 22 °C und 10 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 22 °CT3 = 10 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Mineralwolle, k = 0,04200 mmBeton, k = 1,4150 mmRaum 21 °Caußen -10 °CQ̇

Eine Wand aus 200 mm Mineralwolle und 150 mm Beton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -10 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT130 °C30 °C65 °CΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 130 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 30 auf 65 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 3000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Ts = 130 °Cṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 65 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT115 °C??10 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 115 °C ein, der kalte mit 10 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 1,5 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.

Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 115 °CTc,in = 10 °CA = 1,5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 10,19 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·15) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,2903 = 41,33 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 41,33·0,2857 = 10,19 °C

Antwort

Ti = 10,19 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,1906 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·15) = 0,3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,3498 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,3498) = 0,1906 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,1906 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 1,801 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung aus der Wasserseite

Q̇ = 3·4,18·(65 − 30) = 438,9 kW

Temperaturdifferenzen an den Enden

ΔT₁ = 130 − 30 = 100 K
ΔT₂ = 130 − 65 = 65 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 65)/ln(100/65) = 81,25 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 438900/(3000·81,25) = 1,801 m²

Antwort

A = 1,801 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Th,out = 90,77 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

1,5·(115 − Th,out) = 0,45·(Th,out − 10)
Th,out = (1,5·115 + 0,45·10)/(1,5 + 0,45) = 90,77 °C

Antwort

Th,out = 90,77 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 36,35 kW; der kalte Strom tritt mit 34,23 °C aus.

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