Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Glas und 100 mm Holz, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 19 °C und 8 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Beton und 50 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -12 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 20 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 320 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 5 m². Das heiße Fluid kühlt von 100 auf 60 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 45 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 320 kWA = 5 m²Th: 100 → 60 °CTc: 15 → 45 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 1 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 170 °C ein, der kalte mit 30 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 2 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 170 °CTc,in = 30 °CA = 2 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 16,12 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,09957 = 110,5 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 110,5·0,02604 = 16,12 °C
Antwort
Ti = 16,12 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 388,2 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·20) = 0,07143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,085 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-12))/0,085 = 388,2 W
Antwort
Q̇ = 388,2 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 1586 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 15 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 60 − 45 = 15 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 15)/ln(85/15) = 40,36 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 320000/(5·40,36) = 1586 W/(m²·K)
Antwort
U = 1586 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 117,5 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
1·(170 − Th,out) = 0,6·(Th,out − 30)
Th,out = (1·170 + 0,6·30)/(1 + 0,6) = 117,5 °C
Antwort
Th,out = 117,5 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 52,5 kW; der kalte Strom tritt mit 82,5 °C aus.
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