Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Holz und 100 mm Ziegel, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 21 °C und 9 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Ziegel und 150 mm Beton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit 1 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 1 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 50 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 6 m². Das heiße Fluid kühlt von 180 auf 95 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 30 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 50 kWA = 6 m²Th: 180 → 95 °CTc: 15 → 30 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 130 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 1,5 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1500 W/(m²·K). Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 10 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 130 °CA = 1,5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 44,74 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,2682 = 44,74 W
Antwort
Q̇ = 44,74 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 15,6 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,07098 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (1))/0,07098 = 295,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 295,8·0,02165 = 15,6 °C
Antwort
Ts = 15,6 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 77,63 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 180 − 15 = 165 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 30 = 65 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (165 − 65)/ln(165/65) = 107,3 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 50000/(6·107,3) = 77,63 W/(m²·K)
Antwort
U = 77,63 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 59,95 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·1,5/(1·4180) = 0,5383
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,5383 = 120·0,5838 = 70,05 K
Tc,out = 130 − 70,05 = 59,95 °C
Antwort
Tc,out = 59,95 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 208,8 kW.
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