Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm Holz und 150 mm Glas, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 22 °C und -5 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 22 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Holz und 150 mm Beton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit 3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 4 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 3 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 110 kW. Das heiße Fluid kühlt von 155 auf 125 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 95 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 110 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 155 → 125 °CTc: 30 → 95 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 120 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 6 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1500 W/(m²·K). Kühlwasser (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 20 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 120 °CA = 6 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = −0,9381 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·20) = 0,007813 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,05193 = 519,9 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 519,9·0,04412 = −0,9381 °C
Antwort
Ti = −0,9381 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 1,207 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·4) = 0,02679 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,2072 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,2072) = 1,207 W/(m²·K)
Antwort
U = 1,207 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 0,9628 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 95 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 125 − 30 = 95 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 95)/ln(60/95) = 76,16 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 110000/(1500·76,16) = 0,9628 m²
Antwort
A = 0,9628 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 71,21 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·6/(3·4180) = 0,7177
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,7177 = 100·0,4879 = 48,79 K
Tc,out = 120 − 48,79 = 71,21 °C
Antwort
Tc,out = 71,21 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 642,2 kW.
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