Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Ziegel, k = 0,7250 mmBeton, k = 1,450 mm21 °C4 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 50 mm Ziegel und 50 mm Beton, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 21 °C und 4 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Gipskarton, k = 0,1750 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,03550 mmRaum 22 °Caußen 2 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 50 mm Gipskarton und 50 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit 2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT145 °C95 °C15 °C35 °CΔT₁ΔT₂Gleichstrom

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 500 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 6 m². Das heiße Fluid kühlt von 145 auf 95 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 35 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 500 kWA = 6 m²Th: 145 → 95 °CTc: 15 → 35 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT115 °C70 °C?20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,8 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 115 auf 70 °C ab. Wasser (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 20 °C ein. Das Innenrohr hat 32 mm Durchmesser, und U = 250 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.

ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 70 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 9,774 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·10) = 0,003571 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,01052 = 1617 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 1617·0,006944 = 9,774 °C

Antwort

Ti = 9,774 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 20,92 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·6) = 0,2381 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,3093 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (22 − (2))/0,3093 = 64,65 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 64,65·0,01667 = 20,92 °C

Antwort

Ts = 20,92 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 920,5 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 145 − 15 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 35 = 60 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 60)/ln(130/60) = 90,53 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 500000/(6·90,53) = 920,5 W/(m²·K)

Antwort

U = 920,5 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: L = 55,33 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = 0,8·2,3·(115 − 70) = 82,8 kW
Tc,out = 20 + 82,8/(0,8·4,18) = 44,76 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 44,76 = 70,24 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 20 = 50 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70,24 − 50)/ln(70,24/50) = 59,55 K

Fläche und Länge

A = 82800/(250·59,55) = 5,562 m²
L = A/(πD) = 5,562/(π·0,032) = 55,33 m

Antwort

L = 55,33 m

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