Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Gipskarton, k = 0,1750 mmZiegel, k = 0,7250 mm19 °C4 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 50 mm Gipskarton und 50 mm Ziegel, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 19 °C und 4 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Expandiertes Polystyrol, k = 0,035250 mmZiegel, k = 0,72100 mmRaum 21 °Caußen -3 °CQ̇

Eine Wand aus 250 mm expandiertes Polystyrol und 100 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT100 °C85 °C50 °C30 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 200 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 1 m². Das heiße Fluid kühlt von 100 auf 85 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 50 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 200 kWA = 1 m²Th: 100 → 85 °CTc: 30 → 50 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT175 °C145 °C34,13 °C30 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 175 auf 145 °C ab. Es erwärmt 2 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 30 °C eintritt. Bestimme mit U = 500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 175 → 145 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 825,2 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·20) = 0,003472 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,01818 = 825,2 W

Antwort

Q̇ = 825,2 W
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,1343 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·10) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,7447 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,7447) = 0,1343 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,1343 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 3812 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 50 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 30 = 55 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 55)/ln(50/55) = 52,46 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 200000/(1·52,46) = 3812 W/(m²·K)

Antwort

U = 3812 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 0,5412 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·30 = 34,5 kW
Tc,out = 30 + 34,5/(2·4,18) = 34,13 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 34,13 = 140,9 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 145 − 30 = 115 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140,9 − 115)/ln(140,9/115) = 127,5 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 34500/(500·127,5) = 0,5412 m²

Antwort

A = 0,5412 m²

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