Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Ziegel, k = 0,72150 mmGipskarton, k = 0,1775 mm16 °C-2 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 150 mm Ziegel und 75 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 16 °C und -2 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 16 °CT3 = -2 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Beton, k = 1,4250 mmGipskarton, k = 0,17150 mmRaum 22 °Caußen -3 °CQ̇

Eine Wand aus 250 mm Beton und 150 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT150 °C85 °C30 °C70 °CΔT₁ΔT₂Gleichstrom

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 220 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 20 m². Das heiße Fluid kühlt von 150 auf 85 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 70 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 220 kWA = 20 m²Th: 150 → 85 °CTc: 30 → 70 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT140 °C40 °C49,87 °C10 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 140 auf 40 °C ab. Es erwärmt 1,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 10 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 140 → 40 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 221,7 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·8) = 0,05515 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,08119 = 221,7 W

Antwort

Q̇ = 221,7 W
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,7931 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·15) = 0,0119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,08406 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,08406) = 0,7931 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,7931 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 217,8 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 150 − 30 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 70 = 15 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 15)/ln(120/15) = 50,49 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 220000/(20·50,49) = 217,8 W/(m²·K)

Antwort

U = 217,8 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 22,87 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·100 = 250 kW
Tc,out = 10 + 250/(1,5·4,18) = 49,87 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 49,87 = 90,13 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90,13 − 30)/ln(90,13/30) = 54,66 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(200·54,66) = 22,87 m²

Antwort

A = 22,87 m²

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