Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Expandiertes Polystyrol, k = 0,035250 mmMineralwolle, k = 0,0475 mm22 °C7 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 250 mm expandiertes Polystyrol und 75 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 22 °C und 7 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 22 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Beton, k = 1,4200 mmHolz, k = 0,17100 mmRaum 21 °Caußen -2 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 200 mm Beton und 100 mm Holz trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT120 °C30 °C30 °C10 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 100 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 10 m². Das heiße Fluid kühlt von 120 auf 30 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 30 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.

Q̇ = 100 kWA = 10 m²Th: 120 → 30 °CTc: 10 → 30 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT145 °C??10 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 2 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 145 °C ein, der kalte mit 10 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 5 m² und U = 800 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.

Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 145 °CTc,in = 10 °CA = 5 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 10,12 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·6) = 1,19 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·6) = 0,3125 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/1,503 = 9,98 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 9,98·1,19 = 10,12 °C

Antwort

Ti = 10,12 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 17,66 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·8) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1118 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (21 − (-2))/0,1118 = 205,7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 205,7·0,01623 = 17,66 °C

Antwort

Ts = 17,66 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: U = 214,9 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 30 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 20)/ln(90/20) = 46,54 K

Wärmedurchgangskoeffizient

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 100000/(10·46,54) = 214,9 W/(m²·K)

Antwort

U = 214,9 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Th,out = 55 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

2·(145 − Th,out) = 4·(Th,out − 10)
Th,out = (2·145 + 4·10)/(2 + 4) = 55 °C

Antwort

Th,out = 55 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 180 kW; der kalte Strom tritt mit 100 °C aus.

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