Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Gipskarton und 100 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 15 m². Die Außenflächen haben 17 °C und -5 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 17 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Mineralwolle und 25 mm Beton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -11 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 240 kW. Das heiße Fluid kühlt von 80 auf 45 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 50 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 240 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 80 → 45 °CTc: 30 → 50 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 110 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 1 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1000 W/(m²·K). Kühlwasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 10 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 110 °CA = 1 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 14,68 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,1863 = 118,1 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 118,1·0,01961 = 14,68 °C
Antwort
Ti = 14,68 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 19,01 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·8) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,6531 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-11))/0,6531 = 47,47 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 47,47·0,02083 = 19,01 °C
Antwort
Ts = 19,01 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 22,18 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 50 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 30 = 15 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 15)/ln(30/15) = 21,64 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 240000/(500·21,64) = 22,18 m²
Antwort
A = 22,18 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 48,03 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·1/(0,5·4180) = 0,4785
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4785 = 100·0,6197 = 61,97 K
Tc,out = 110 − 61,97 = 48,03 °C
Antwort
Tc,out = 48,03 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 79,48 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer