Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Holz, k = 0,17150 mmGlas, k = 0,9675 mm23 °C-7 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 150 mm Holz und 75 mm Glas, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 23 °C und -7 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Glas, k = 0,96100 mmGipskarton, k = 0,17150 mmRaum 22 °Caußen -5 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 100 mm Glas und 150 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -5 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT130 °C55 °C45 °C25 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 230 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 130 auf 55 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 45 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,8, und U = 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 230 kWF = 0,8U = 500 W/(m²·K)Th: 130 → 55 °CTc: 25 → 45 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT95 °C55 °C62,85 °C15 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 95 auf 55 °C ab. Es erwärmt 0,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 1000 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 55 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 124,9 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·4) = 0,01953 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,2401 = 124,9 W

Antwort

Q̇ = 124,9 W
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 19,6 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·8) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1408 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (22 − (-5))/0,1408 = 191,7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 191,7·0,0125 = 19,6 °C

Antwort

Ts = 19,6 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 10,89 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 45 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 30)/ln(85/30) = 52,81 K

Fläche

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 230000/(500·0,8·52,81) = 10,89 m²

Antwort

A = 10,89 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 2,783 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·40 = 100 kW
Tc,out = 15 + 100/(0,5·4,18) = 62,85 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 62,85 = 32,15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (32,15 − 40)/ln(32,15/40) = 35,93 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(1000·35,93) = 2,783 m²

Antwort

A = 2,783 m²

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