Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm Glas und 25 mm Ziegel, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 20 °C und 10 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 20 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm expandiertes Polystyrol und 25 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 460 kW. Das heiße Fluid kühlt von 100 auf 80 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 65 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 460 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 100 → 80 °CTc: 15 → 65 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 0,5 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 95 °C ein, der kalte mit 10 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 6 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 95 °CTc,in = 10 °CA = 6 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 314,2 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·6) = 0,005787 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,03183 = 314,2 W
Antwort
Q̇ = 314,2 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 58,99 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·12) = 0,05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,4238 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (-3))/0,4238 = 58,99 W
Antwort
Q̇ = 58,99 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 11,86 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 65 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 15 = 65 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 65)/ln(35/65) = 48,46 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 460000/(800·48,46) = 11,86 m²
Antwort
A = 11,86 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 28,48 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
0,5·(95 − Th,out) = 1,8·(Th,out − 10)
Th,out = (0,5·95 + 1,8·10)/(0,5 + 1,8) = 28,48 °C
Antwort
Th,out = 28,48 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 33,26 kW; der kalte Strom tritt mit 76,52 °C aus.
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