Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Gipskarton, k = 0,17100 mmMineralwolle, k = 0,0475 mm19 °C-10 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 100 mm Gipskarton und 75 mm Mineralwolle, mit einer Fläche von 12 m². Die Außenflächen haben 19 °C und -10 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 19 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Gipskarton, k = 0,1750 mmMineralwolle, k = 0,04150 mmRaum 20 °Caußen -2 °CQ̇

Eine Wand aus 50 mm Gipskarton und 150 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT170 °C35 °C80 °C15 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 440 kW. Das heiße Fluid kühlt von 170 auf 35 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 80 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 440 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 170 → 35 °CTc: 15 → 80 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT155 °C??30 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 2 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 155 °C ein, der kalte mit 30 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 5 m² und U = 500 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.

Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 155 °CTc,in = 30 °CA = 5 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 12,07 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·12) = 0,1563 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,2053 = 141,3 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 141,3·0,04902 = 12,07 °C

Antwort

Ti = 12,07 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,2384 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·12) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,3495 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,3495) = 0,2384 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,2384 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 6,303 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 80 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 15 = 20 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 20)/ln(90/20) = 46,54 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 440000/(1500·46,54) = 6,303 m²

Antwort

A = 6,303 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Th,out = 85,56 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

2·(155 − Th,out) = 2,5·(Th,out − 30)
Th,out = (2·155 + 2,5·30)/(2 + 2,5) = 85,56 °C

Antwort

Th,out = 85,56 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 138,9 kW; der kalte Strom tritt mit 99,44 °C aus.

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