Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Ziegel, k = 0,72150 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,035100 mm20 °C-5 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 150 mm Ziegel und 100 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 20 °C und -5 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 20 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Expandiertes Polystyrol, k = 0,035250 mmZiegel, k = 0,72150 mmRaum 21 °Caußen -12 °CQ̇

Eine Wand aus 250 mm expandiertes Polystyrol und 150 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -12 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT140 °C75 °C100 °C20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 570 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 140 auf 75 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 100 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,95, und U = 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 570 kWF = 0,95U = 500 W/(m²·K)Th: 140 → 75 °CTc: 20 → 100 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT100 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

Dampf kondensiert bei konstant 100 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 3 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 3000 W/(m²·K). Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 20 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.

Ts = 100 °CA = 3 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 163,1 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·20) = 0,01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,1533 = 163,1 W

Antwort

Q̇ = 163,1 W
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,1323 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·12) = 0,5952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·12) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,6298 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,6298) = 0,1323 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,1323 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 25,48 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 100 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 20 = 55 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 55)/ln(40/55) = 47,1 K

Fläche

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 570000/(500·0,95·47,1) = 25,48 m²

Antwort

A = 25,48 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Tc,out = 90,71 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·3/(1·4180) = 2,153

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,153 = 80·0,1161 = 9,29 K
Tc,out = 100 − 9,29 = 90,71 °C

Antwort

Tc,out = 90,71 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 295,6 kW.

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