Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz: Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand: R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand: R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-Wert: U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung: Q = U·A·ΔT_lm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Bilanz eines Stroms: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel

Eine Wand besteht aus 150 mm Glas und 50 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 21 °C und 0 °C. Bestimme die Temperatur T_i an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L₁ = 150 mm, k₁ = 0,96 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T₁ = 21 °CT₃ = 0 °C

T_i = °C

2.WärmeleitungSchwer

Eine Wand aus 250 mm Beton und 50 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -9 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L₁ = 250 mm, k₁ = 1,4 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²h_i = 8 W/(m²·K)h_o = 25 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -9 °C

U = W/(m²·K)

3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel

Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 600 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 105 auf 55 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 35 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,85, und U = 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 600 kWF = 0,85U = 800 W/(m²·K)T_h: 105 → 55 °CT_c: 25 → 35 °C

A = m²

4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·c_p = 1,5 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 135 °C ein, der kalte mit 30 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 4 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur T_h,out des heißen Stroms.

C_h = C_c = 1,5 kW/KT_h,in = 135 °CT_c,in = 30 °CA = 4 m²U = 300 W/(m²·K)

T_h,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: T_i = 13,71 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0,96·8) = 0,01953 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 21/0,0563 = 373 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 21 − 373·0,01953 = 13,71 °C

Antwort

T_i = 13,71 °C

2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,5643 W/(m²·K)

Widerstände in Reihe

R_i = 1/(h_iA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (250/1000)/(1,4·6) = 0,02976 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0,035·6) = 0,2381 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W

ΣR = 0,2954 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,2954) = 0,5643 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,5643 W/(m²·K)

3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 18,69 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 105 − 35 = 70 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 55 − 25 = 30 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 30)/ln(70/30) = 47,21 K

Fläche

A = Q̇/(U·F·ΔT_lm,cf) = 600000/(800·0,85·47,21) = 18,69 m²

Antwort

A = 18,69 m²

4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: T_h,out = 88,33 °C

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: T_c,out = T_c,in + (T_h,in − T_h,out), also ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = T_h,out − T_c,in = ΔT₂.

ΔT_lm = T_h,out − T_c,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

1,5·(135 − T_h,out) = 1,2·(T_h,out − 30)

T_h,out = (1,5·135 + 1,2·30)/(1,5 + 1,2) = 88,33 °C

Antwort

T_h,out = 88,33 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 70 kW; der kalte Strom tritt mit 76,67 °C aus.

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