Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Glas und 75 mm Beton, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 25 °C und 0 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 25 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm expandiertes Polystyrol und 50 mm Holz trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -10 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -10 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 240 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 8 m². Das heiße Fluid kühlt von 125 auf 45 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 10 auf 35 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 240 kWA = 8 m²Th: 125 → 45 °CTc: 10 → 35 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 140 auf 70 °C ab. Es erwärmt 3 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 946,5 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·4) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·4) = 0,01339 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,02641 = 946,5 W
Antwort
Q̇ = 946,5 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 144,1 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·15) = 0,1905 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,2221 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (-10))/0,2221 = 144,1 W
Antwort
Q̇ = 144,1 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 697,8 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 10 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 45 − 35 = 10 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 10)/ln(115/10) = 42,99 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 240000/(8·42,99) = 697,8 W/(m²·K)
Antwort
U = 697,8 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 3,645 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·70 = 147 kW
Tc,out = 15 + 147/(3·4,18) = 26,72 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 26,72 = 113,3 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (113,3 − 55)/ln(113,3/55) = 80,66 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 147000/(500·80,66) = 3,645 m²
Antwort
A = 3,645 m²
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