Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Glas und 150 mm Ziegel, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 25 °C und -15 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 25 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 250 mm Glas und 75 mm Beton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 410 kW. Das heiße Fluid kühlt von 110 auf 85 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 40 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 410 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 110 → 85 °CTc: 30 → 40 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 3 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 160 °C ein, der kalte mit 30 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 6 m² und U = 200 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 3 kW/KTh,in = 160 °CTc,in = 30 °CA = 6 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 1536 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·10) = 0,005208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·10) = 0,02083 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 40/0,02604 = 1536 W
Antwort
Q̇ = 1536 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 16,83 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·15) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·15) = 0,003571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,03093 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (-2))/0,03093 = 775,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 775,9·0,006667 = 16,83 °C
Antwort
Ts = 16,83 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 4,493 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 110 − 30 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 40 = 45 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 45)/ln(80/45) = 60,83 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 410000/(1500·60,83) = 4,493 m²
Antwort
A = 4,493 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 122,9 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
3·(160 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 30)
Th,out = (3·160 + 1,2·30)/(3 + 1,2) = 122,9 °C
Antwort
Th,out = 122,9 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 111,4 kW; der kalte Strom tritt mit 67,14 °C aus.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer