Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Mineralwolle und 50 mm Ziegel, mit einer Fläche von 12 m². Die Außenflächen haben 22 °C und 5 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 22 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Glas und 150 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -6 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 470 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 25 m². Das heiße Fluid kühlt von 100 auf 85 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 25 auf 65 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 470 kWA = 25 m²Th: 100 → 85 °CTc: 25 → 65 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 85 auf 55 °C ab. Es erwärmt 3 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 20 °C eintritt. Bestimme mit U = 500 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 85 → 55 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 5,233 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·12) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·12) = 0,005787 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,4225 = 40,24 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 40,24·0,4167 = 5,233 °C
Antwort
Ti = 5,233 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 13,73 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·15) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·15) = 0,01389 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,03216 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-6))/0,03216 = 839,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 839,6·0,008658 = 13,73 °C
Antwort
Ts = 13,73 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 405,3 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 65 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 60)/ln(35/60) = 46,38 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 470000/(25·46,38) = 405,3 W/(m²·K)
Antwort
U = 405,3 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 6,913 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·30 = 150 kW
Tc,out = 20 + 150/(3·4,18) = 31,96 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 31,96 = 53,04 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (53,04 − 35)/ln(53,04/35) = 43,4 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(500·43,4) = 6,913 m²
Antwort
A = 6,913 m²
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