Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Glas, k = 0,96150 mmBeton, k = 1,450 mm20 °C-14 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 150 mm Glas und 50 mm Beton, mit einer Fläche von 4 m². Die Außenflächen haben 20 °C und -14 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 20 °CT3 = -14 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Ziegel, k = 0,72150 mmMineralwolle, k = 0,0425 mmRaum 21 °Caußen -11 °CQ̇

Eine Wand aus 150 mm Ziegel und 25 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -11 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 12 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT105 °C15 °C75 °CΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 15 auf 75 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 3000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Ts = 105 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 75 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT180 °C75 °C135,6 °C20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 180 auf 75 °C ab. Es erwärmt 0,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 20 °C eintritt. Bestimme mit U = 1000 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 180 → 75 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 708,5 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·4) = 0,03906 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·4) = 0,008929 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,04799 = 708,5 W

Antwort

Q̇ = 708,5 W
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,987 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·12) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·12) = 0,05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,08443 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,08443) = 0,987 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,987 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 1,531 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung aus der Wasserseite

Q̇ = 1·4,18·(75 − 15) = 250,8 kW

Temperaturdifferenzen an den Enden

ΔT₁ = 105 − 15 = 90 K
ΔT₂ = 105 − 75 = 30 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 30)/ln(90/30) = 54,61 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250800/(3000·54,61) = 1,531 m²

Antwort

A = 1,531 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 4,875 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·105 = 241,5 kW
Tc,out = 20 + 241,5/(0,5·4,18) = 135,6 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 135,6 = 44,45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 20 = 55 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (44,45 − 55)/ln(44,45/55) = 49,54 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 241500/(1000·49,54) = 4,875 m²

Antwort

A = 4,875 m²

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