Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Mineralwolle und 100 mm Beton, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 24 °C und -10 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 24 °CT3 = -10 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Ziegel und 50 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -13 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 140 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 15 auf 30 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 3000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 140 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 30 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 105 °C ein, der kalte mit 25 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 6 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 105 °CTc,in = 25 °CA = 6 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 205,8 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·8) = 0,1563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·8) = 0,008929 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,1652 = 205,8 W
Antwort
Q̇ = 205,8 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 190,5 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·8) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·8) = 0,1563 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,1837 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (-13))/0,1837 = 190,5 W
Antwort
Q̇ = 190,5 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 0,7125 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 4·4,18·(30 − 15) = 250,8 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 140 − 15 = 125 K
ΔT₂ = 140 − 30 = 110 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 110)/ln(125/110) = 117,3 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250800/(3000·117,3) = 0,7125 m²
Antwort
A = 0,7125 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 61,36 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
1,5·(105 − Th,out) = 1,8·(Th,out − 25)
Th,out = (1,5·105 + 1,8·25)/(1,5 + 1,8) = 61,36 °C
Antwort
Th,out = 61,36 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 65,45 kW; der kalte Strom tritt mit 68,64 °C aus.
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