Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm expandiertes Polystyrol und 150 mm Holz, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 15 °C und -6 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 15 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 200 mm Beton und 150 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 20 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 110 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 30 auf 65 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 2000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 110 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 65 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,3 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 120 auf 70 °C ab. Wasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 25 °C ein. Das Innenrohr hat 40 mm Durchmesser, und U = 150 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 40 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = −3,691 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·8) = 0,8929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/1,003 = 20,93 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 20,93·0,8929 = −3,691 °C
Antwort
Ti = −3,691 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 19,5 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·20) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·20) = 0,2143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,2281 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-3))/0,2281 = 100,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 100,8·0,005 = 19,5 °C
Antwort
Ts = 19,5 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 2,405 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 2·4,18·(65 − 30) = 292,6 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 110 − 30 = 80 K
ΔT₂ = 110 − 65 = 45 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 45)/ln(80/45) = 60,83 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 292600/(2000·60,83) = 2,405 m²
Antwort
A = 2,405 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 28,78 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,3·2,3·(120 − 70) = 34,5 kW
Tc,out = 25 + 34,5/(1·4,18) = 33,25 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 33,25 = 86,75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 25 = 45 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (86,75 − 45)/ln(86,75/45) = 63,61 K
Fläche und Länge
A = 34500/(150·63,61) = 3,616 m²
L = A/(πD) = 3,616/(π·0,04) = 28,78 m
Antwort
L = 28,78 m
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