Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Gipskarton und 100 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 23 °C und -12 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Glas und 75 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 7,7 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 220 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 2 m². Das heiße Fluid kühlt von 115 auf 95 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 95 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 220 kWA = 2 m²Th: 115 → 95 °CTc: 30 → 95 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 120 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 3000 W/(m²·K). Kühlwasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 30 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 120 °CA = 2 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 48,52 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/0,7213 = 48,52 W
Antwort
Q̇ = 48,52 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 3,066 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·8) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,04077 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,04077) = 3,066 W/(m²·K)
Antwort
U = 3,066 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 2881 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 95 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 30 = 65 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 65)/ln(20/65) = 38,18 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 220000/(2·38,18) = 2881 W/(m²·K)
Antwort
U = 2881 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 114,9 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·2/(0,5·4180) = 2,871
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−2,871 = 90·0,05665 = 5,099 K
Tc,out = 120 − 5,099 = 114,9 °C
Antwort
Tc,out = 114,9 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 177,4 kW.
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